Sällsamma kretslopp och radikala veck

Topologins ord för veckbilningar är involutioner; operationer där en avbildning eller mapping, mångfaldigt avbildas in i sig själv.Som den gamla ,högst fascinerande,reklametiketten på min barndoms burkar med skurmedlet Tomteskur.Etiketten föreställde en tomte som höll en exakt likadan burk Tomteskur i handen. O.s.v. in i en förminskning som ögat inte längre kunde uppfatta.

Talsystemet kan avbildas in i sig självt på många olika sätt.Till exempel så att varje heltal tillordnas det efterföljande. Detta kan upprepas oändligt många gånger om varje avbildning börjar ett steg (ett heltal) efter det där den föregående avbildningen började:
1 2 3 4 5 6….
1 2 3 4 5 6…
1 2 3 4 5 6….
Heltalsserien rymmer hur många avbildningar som helst av sig själv .Och detta är just Cantors definition av en transfinit mängd. Den är ekvivalent med alla sina äkta delmängder.


”He’s dreaming now,”said Tweedledee:and what do you think he’s dreaming about ?”
Alice said ”Nobody can guess that.”
”Why,about you !” Tweedledee exclaimed,clapping his hands triumphantly.
”And if he left off dreaming about you ,where do you suppose you’d be?”
”Where I am now,of course,”said Alice.
”Not you!” Tweedledee retorted contemptuosly.”You’d be nowhere.Why,you’re only a sort of things in his dream!”
”If that there King was to wake,added Tweedledum,”you’d go out –bang!-just like a candle!”




Det börjar redan hos Cervantes.I tredje kapitlet av andra delen av Don Quijote dyker det upp en pratsam och entusiastisk herre,ungkarlen Sanson Carrasco,som skattar sig lycklig att ha träffat hjältarna i en så berömd roman.
”Don Qijote bad honom åter resa sig ’ Är det verkligen sant,frågade han sedan ,’att det finns en bok om mig och att någon morisk lärd skrev den ?’
’För att visa dig hur sant det är,svarade Sanson ,kan jag säga dig att det är min uppfattning att det föreligger idag mer än tolv tusen exemplar av den berättelsen. ’
Och för en alltmer häpnande Don Quijote fortsätter ungkarlen att utlägga romanens förtjänster och framgångar.Vad som sker är med andra ord att en roman avbildas in i en roman. Hjältarna möter sig själva men denna gång som sina egna litterära avbildningar.Omedvetna om att de också själva är avbildningar.
Nästa station är hos Lewis Carroll,Alices möte med den sovande röde kungen i ”Through the Looking-Glass”.Bröderna Tweedledee och Tweedledum varnar henne mycket allvarligt för att väcka den snarkande kungen som ligger utsträckt i gräset.Som den ordentliga flicka hon är oroar hon sig nämligen för att kungen kanske kan förkyla sig.
’Han drömmer nu’sade Tweedledee:’och kan du tro vad han drömmer om ?’
Alice sade ’Det kan ingen gissa.’
’Jo just om dig’ ropade Tweddledee’ och slog ihop händerna i triumf.’Och ifall han skulle sluta drömma om dig,kan du tänka dig var du skulle hamna då ?”
’Där jag är nu,naturligtvis ’sade Alice.
’Inte du’ genmälde Tweedledee spydigt.’Du skulle inte vara någonstans.Du är bara något slags nånting i hans dröm’
Denna underbara nonsensdialog når en höjdpunkt när Alice påpekar att, om hon är en beståndsdel i den röde Kungens dröm,kan hon knappast heller väcka honom.
Om vi uppfattar de båda delarna av Don Quijote som en enda berättelse, har vi alltså att göra med en berättelse som viks in i sig själv.Vilket skapar osäkerhet om vad som är representationen och vad som är det representerade .I fallet med den sovande röde kungen är det,än mer raffinerat,en dröm som har vikts in i sig själv.
Den tredje klassiker som hängivet ägnar sig åt detta slags konst är Jorge Luis Borges.”Den cirkelformade ruinen” är bara en av de ”Ficciones” där han utforskar detta slags världar som mynnar ut i sig själva.
Vikningar och veckbildningar är i själva verket ytterst intressanta operationer.
Möbiusbandet med dess sällsamma slinga bildar bara en enda yta,Kleins flaska,inte fullt realiserbar i det tredimensionella rummet, har en insida som är dess utsida och vice versa;den påminner med andra ord om vår jordiska existens;vi är inneslutna i ett rum som vi inte kan lämna. Ett argument mot dödsskräck.
Kurt Gödel bevisar att Principia Mathematica och liknande system måste innehålla inom systemet formellt oavgörbara satser.Och sättet att visa detta är med så kallade Gödelnumren.Gödel avbildar matematiken i dess helhet på ett hörn av matematiken genom att ge varje tecken som kan förekomma i en välbildad formel dess unika signum i form av ett tal. Därmed kan hela beviset ges en matematisk behandling.
Denna geniala veckbildning för oss till Douglas Hofstaedters fascinerande böcker, ”Gödel,Escher, Bach” från 1979 och ”I am a strange loop” 2007.Hofstaedter tolkar ett klassiskt filosofiskt problem ,självmedvetandet,som resultatet av en vikning eller en ”strange loop”. Mitt medvetande är en mer eller mindre bristfällig avbildning av världen.Men i denna avbildning finns också avbildningen av mig själv. Eller som den amerikanska flickan säger i ”Den amerikanska flickans söndagar” :

Hur kan vi tala till oss själva
och lyssna som vore det en annan?

Är vi kanske,nogra räknat,mer än en ?
Hur många av oss bor i samma magra kropp ?

Och detta sällsamma som spegeln säger,
att allt det som är jag hör till

en yttre värld som frågar föga efter mig.
Och samtidigt är hela denna yttervärld

det enda som min innervärld består av .
Världen,sinnrikt vikt in i sig själv.

Det är vad spegeln säger.Men kan
då delen vara helheten som i sin tur

är delen ?Någonting är konstigt här.
Jag tror inte alls att vi har fattat världen.