MOT NOLL
i
(Mot noll)
Som Hardy påpekar i sin ”Pure Mathematics” (Cambridge 1948), en av de bäst artikulerade böcker i matematik som jag känner, är ”oändligheten” eller det som skrivs i formella språk;”∞”,tagen i sin enskildhet ,ett meningslöst tecken.Det finns inget sådant tal som ∞.Det finns däremot satser och sammanhang där ”∞” ingår där detta tecken i sitt sammanhang blir meningsfullt,säger Hardy,och då betyder ett positivt tal som kan göras hur stort som helst.Bråket 1/n är litet när n är stort och när n går mot ∞ ,går resultatet mot noll (där Hardy påpekar att ”går” inte har någonting med processer i tiden att göra) Eller limes 1/n=0 såvida n ⇒ ∞
Exempel: 1-1/2-1/4-1/8 …..där nämnaren hela tiden halveras , har gränsen eller limes noll. Den ”går” mot noll men summan av funktionen kan aldrig bli noll hur mycket den än krymper.
Det är en konvergent funktion.En divergent funktion är en där summan går mot oändligheten.Alla funktioner är inte konvergenta eller divergenta.Det finns några som oscillerar ,som sinuskurvans funktion och det finns partiellt konvergenta funktioner som gausskurvan,Gauss bekanta klockformade kurva till vilken vi strax skall återvända..
Som Hardy också påpekar är det inte alls självklart vid alla funktioner vi ,Att se vilka som är konvergenta och vilka som inte är det.I några fall är det lätt att se. Ibland behövs det komplicerade test för att se åt vilket håll det går.
Leibniz, som hade självklara skäl att intressera sig för limesbegreppet,omfattade det med närmast religiös fascination.Han tänkte sig att Gud – till skillnad från oss – med sin totala kunskap ,borde vara i stånd att se det gränsöverskridande omöjliga ögonblick när den konvergenta serien når sin sista term.Den term som är den sista och aldrig kan vara den sista.
Det finns något av en mystisk upplevelse här. Både Leibniz och hans svårartade rival,Isaac Newton delar denna dragning till något bortom människa och tid.Så paradoxalt att det som kom ut av detta var något så praktiskt som differentialräkningen.
*
När man läser om 1800-talets tyska elituniversitet,de som föregår Alexander Humboldts stora reformer, Göttingen,Tübingen,Erlangen,Jena,får man lätt det intrycket att de är uppkomna ur snåla småfurstars behov av anstalter för utbildning av fältskärer för armén och veterinärer för kavalleriet.Men av någon sällsam slump,ofattbar för dagens mycket stöddigare forskningspolitiker,producerar dessa småuniversitet,Göttingen,Tübingen,Erfurt och Mannheim,resultat av bestående,ibland oöverträffbart värde.De frambringar diktare av en Hölderlins eller en Schillers format,filosofer som Fichte och Hegel, och skaffar framtida matematiker huvudvärk och hårt arbete över århundraden; Gauss,Riemann,Dirichlet,Klein,Weber…De kommer mestadels – men inte Gauss - från anspråkslösa prästhem,de upptäcks i bästa fall – som Gauss - av någon uppmärksam byskollärare - om dem som inte upptäcktes får vi aldrig veta - de kämpar tidigt mot tuberkulosen som skall döda de flesta i en mycket tidig ålder,utom den anmärkningsvärt uthållige Gauss.De lever i en skoningslös konkurrens med varandra.De skriver febrilt och världen blir sig aldrig riktigt lik när de har lämnat den.
*
När man ser Bernard Riemanns porträtt blir man lätt skakad. Det är ju en helt ung man som de fåtaliga bilderna föreställer.Det är svårt att föreställa sig att denna hart när bottenlösa gruva av matematisk insikt och kreativitet bara fanns i sinnevärlden mellan 1826 och 1866.
Riemann var prästson,född i Breselenz i det på hans tid brittiska kungariket Hannover,skolad tillsammans med fem syskon av fadern,ooch så småningom gymnasist i det berömda Johanneum i Lüneburg, och efter det Göttingens universitet.Hannover var en hårt auktoritär miljö vid denna tid ,liksom Schillers Jena.Politiska avvikare bestraffades med avsked från universitetet.
Avsikten var som så ofta i denna lutherska miljö att sonen,bräcklig och ofta sjuk,skulle gå i faderns fotspår och unge Riemann sägs ha bemödat sig med de döda språken,grekiskan och hebreiskan,precis som en annan prästson,Friedrich Nietzsche från det inte alltför avlägsna en generation senare Naumburg.Förhållandet – som inte sällan är fallet med mycket intelligenta fäder och söner – mellan de båda tycks ha varit utomordentligt ömsinnat och hänsynsfullt.När Riemann inser att det är matematiker han är, skriver han ett hövligt brev till fadern och ber att få ändra inriktning.Vilket genast besvaras i vänliga former.
Det är Karl Friedrich Gauss som rekommenderar honom till Göttingen,där han hamnar,via Berlin. Den matematiska världsscenen är så mycket mindre i dessa år.Inga raska amerikaner,inga briljanta japaner ,ingen Ramanujan.det är England,Tyskland, Frankrike och Italien som dominerar. Och den fattiiga norska staten skall ta sig an Henrik Abel.
I all den rikedom av resultat som härstammar från Riemann och de delvis ännu obesvarade frågor han ställde är det två områden som kanske har framträtt allt tydligast:
Det ena är den icke-euklidiska geometrin.Föreläsningen
Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen,given den 10 juni 1854 med en mycket imponerad Gauss i publiken,innehåller inte bara en djup filosofisk diskussion om det långt ifrån självklara förhållandet mellan geometrins abstrakta rum och det delvis gåtfulla fysiska rum där vi lever .Den öppnar för Einsteins förklaring av gravitationen som ett uttryck för rummets krökning .Efter att ha definierat vad det innebär att ett rum har n dimensioner,går han vidare och utvidgar Gauss’ resultat kring de villkor som gäller för ytorna i krökta rum vilka som helst – på en positivt eller negativt krökt yta händer det saker med vinkelsumman - och definierar det så kallade Riemannrummet. Det riktigt spännande är andra delen där han frågar sig vilken geometri som behärskar det rum vi finner - med andra ord det fysiska rummet.Avsnittet blev en guldgruva av idéer även för den mest spekulativa moderna kosmogonin.
Om Riemanns geometriska arbete öppnade för en ny förklaring av gravitationen som en egenskap hos det fysiska rummet,skapade ett annat av hans projekt en märklig gissning och en avgrundsdjup gåta: primtalens fördelning .I själva början av den ändlöst djupa korridor som är talserien kommer dessa fasta torn av odelbarhet (med annat än 1 och sig själva,där 1 måste undantas som trivialt ) helt tätt intill varandra:3,5,7,11.Sedan tunnar det ut betydligt. På de stora långa sträckorna kommer de gåtfullt i tätare moln och lyser sedan plötsligt med sin frånvaro över mäktiga sträckor.Som sparvflockar om hösten. Vad bestämmer ?
För de ytligare tänkare – exempelvis de dialektiska materialisterna - som vill intala oss att matematikens fakta bara är resultatet av några konventioner som vi själva har snickrat ihop under de ekonomiska produktionsmedlens och produktionssättens olika utvecklingsfaser – är primtalen och deras till synes nyckfulla gästspel i det oerhörda talrummet onekeligen en tankeställare.Vem uppfann primtalen ? ?
Riemanns inträdesföreläsning i den ärevördiga Berlinakademin år 1859 :Om antalet primtal given en viss storleksordning löser ett problem och ställer ett mycket större,en av de matematiska gåtor som ännu väntar på sitt svar,den så kallade Riemanns Hypotes. Riemann ville i första hand göra en uppskattning av antalet primtal under ett visst värde.
Men han gjorde också något mera och mycket djärvare:han studerade funktionens konvergens som den blir om man ser den som en komplex funktion .Den så kallade zetafunktionen,först införd av Euler;
ζ(n)= Σ ∞k=11/(kn)
där summan är alla naturliga tal och produkten går genom alla primtal, möjliggjorde en djärv hypotes:
Rötterna för ζ(s) ligger alla mellan 0 och 1,i det som i dessa sammanhang brukar kallas den kritiska korridoren.Riemanns gissning var att den reella delen för alla fall som inte är triviala nollor är ½.Så långt det går att se håller antagandet att nollorna ,rötterna i z-funktionen, ger en kurva som mycket nära följer primtalens uppdykande.Vad som är obevisat är om kurvan är lika följsam i all oändlighet.Här finns uppenbart ett av dessa gåtfulla djupa sammanhang som kan komma alla på skam som tror att matematiken är byggd på något slags mänskliga konventioner,på överenskommelser och vanor.Här har vi att göra med en värld som är som den är oavsett vad vi tänker om den.Ja,som vore som den är om aldrig några solar eller galaxer funnits.Att bevisa att det är så är kanske matematikens största ännu olösta problem. Ett definitivt svar skulle besvara talspektrums kanske djupaste fråga:det komplexa rummet.
Avbruten av den framskridna tuberkulosens hostattacker,som ibland blir grymma,och något enstaka ögonblick överväldigad av landskapets monumentala skönhet,blånande horisontberg och vidsträckta vatten, - allt vad han alltid saknat i Göttingen – kämpande med ett nytt slags svaghet som han aldrig känt förut,vrider och vänder han på den märkliga idé som börjar växa fram i den voluminösa anteckningsboken: ett tredimensionellt hyperboliskt rum.En tresfär med negativ kurvatur,som Poincaré , i detta ögonblick bara fem år gammal ,så småningom skall utveckla och fördjupa.
Riemann kommer aldrig att få veta att Poincaré har funnits.Han kommer aldrig att få veta att tysk-franska kriget med all dess grymhet och alla dess för den tyska kulturen så ödesdigra triumfatoriska signaler, skall bryta ut om bara fyra år. Och det är kanske bäst så. Han kommer heller aldrig att få veta att Tysklands enande inte är så långt borta,att hertigen av Norcumberland inte i evighet skall kunna avskeda frihetliga professorer i Göttingen från deras lärostolar.
Och inte heller vet han hur mycket han skall betyda .Hur hans krökta rum så småningom efter att ha anrikats hos Klein och Poincaré skall lägga grunden till en av de stora fysikaliska teorierna. Albert Einsteins allmänna relativitetsteori med dess lokala krökningar av tresfärens geometri i ett fyrdimensionellt yttre rum där även tiden uppträder,lika enkel och klar,eller lika vikbar och mysteriös som vilken annan rumsdimension som helst.
Och inte heller skall han veta hur många matematikerliv han har förödat och hur många har har skickat till medaljernas och de lärda sällskapens höjder med sin outhärdligt djärva primtalshypotes, där ζ-funktionen drar upp den smala komplexa korridor där dessa talvärldens ointagliga fasta torn har sina platser.
I själva verket skall Bernhard Riemann snart inte ens veta att Bernhard Riemann någonsin har funnits.
Av alla funktioner tycks han ha en egendomlig förkärlek för dessa,som går mot noll.Men aldrig kommer fram.Hur ser det ut där 1 -1/2- 1-1/8 till sist möter 0?
Värld och icke-värld på samma gång.Det andra av sig självt,som den svårbegriplige men kanske alltför inflytelserike professor Gottfried Wilhelm Hegel - mannen i Berlin - en gång hade kallat det.Men vad han menade var förstås ögonblicket ,denna ouppnåeligt flyende del av vår existens.Om någon bebodde den hyperboliska sfär som Bernhard Riemann tänkte och började den långa vandringen från dess rakknivvassa ekvator mot polen skulle denne vandrare aldrig nå gränsen.Ty för varje breddgrad,nej för varje bågsekund skulle hans kropp förminskas,hans steg bli allt kortare.Och denna förminskning skulle fortsätta så i all oändlighet.
Och utan att vår vandrare märkte det.Ty vägen mot intigheten kan, som vi har konstaterat,under väl definierade villkor bli oändligt lång.
